Las propiedades de divisibilidad en números naturales son reglas que nos permiten determinar si un número natural es divisible por otro sin necesidad de realizar la división completa. Estas propiedades son fundamentales en aritmética y tienen aplicaciones en diversos campos, como matemáticas, ciencias, criptografía y computación.
La divisibilidad en números naturales, y el concepto de esta, aparece en el momento que el hombre se encuentra ante el problema de que, en ocasiones, hay repartos que son exactos (no sobra nada después de repartir, y todo el mundo tiene la misma parte), y otros que no lo son.
Las soluciones a estos problemas dieron lugar a las propiedades de divisibilidad.
PROPIEDADES DE DIVISIBILIDAD EN NÚMEROS NATURALES
Aquí se presentan algunas de las principales propiedades de divisibilidad en números naturales:
Si un numero natural es divisor de varios números naturales, es también divisor de su suma.
Ejemplo:
Si 3 es divisor de 6 y 9, también será divisor de su suma, ósea de 15.
Vamos a comprobarlo
6/3=2
9/3=3
9+6=15
15/3=5
Por tanto, observamos que la siguiente propiedad se cumple.
Si un numero natural, es divisor de dos números naturales, es también divisor de su diferencia (siempre que esta sea un número natural, quiere decir, que no sea negativa).
Lo que esta propiedad nos quiere decir, es que si, por ejemplo, el número 3 es divisor de dos números naturales, por ejemplo, el 6 y el 9, igual que en el ejemplo anterior. También será divisor de la diferencia de estos dos números naturales (6 y 9).
Ejemplo:
6:3=2
9:3=3
9-6=3
3:3=1
A través de este ejemplo podemos comprobar que la propiedad se cumple.
Todo divisor de un número también lo es de los múltiplos de ese número.
Esto quiere decir que todos los números que dividen a este número (vamos a poner como ejemplo el número 9), son divisores de sus múltiplos. Esto quiere decir, de todos los números que sean resultado de una multiplicación donde este número esté involucrado. (9 x ? = un número divisible por 9).
Por ejemplo:
Son divisores del 9: el 1, el 3, y el 9.
Por tanto, deberá cumplirse que todos los números multiplicados por 9 sean divisibles por estos 3 números. Vamos a comprobarlo.
-Cogemos primero 3 múltiplos del número 9
9 x 4 = 36
9 x 5 = 45
9 x 8 = 72
| 36 | 45 | 72 |
| 36 : 9 = 4 | 45 : 9 = 5 | 72 : 9 = 8 |
| 36 : 3 = 12 | 45 : 3 = 15 | 72 : 3 = 24 |
| 36 : 1 = 36 | 45 : 1 = 45 | 72 : 1 = 72 |
Como podemos observar en la siguiente tabla la propiedad se cumple. Son divisibles todos los múltiplos de 9 (en este caso 36, 45, 72), los divisores de 9 (1, 3 y 9).